Question

已知二次函數f(x)=px2+qx(p≠0),其導函數為f'(x)=6x-2,數列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數y=f(x)的圖象上.

(1)求數列{an}的通項公式.

(2)若cn=(an+2),2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn,求數列{bn}的通項公式.

 

Answer 1

(1) an=6n-5 (2) bn=

【解析】【思路點撥】(1)根據二次函數的導函數為f'(x)=6x-2,可求f(x)=3x2-2x,所以Sn=3n2-2n.由Sn可求an.

(2)根據an求cn,求出cn代入2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn中可求出bn,注意n=1與n≥2的討論.

【解析】
(1)已知二次函數f(x)=px2+qx(p≠0),

則f'(x)=2px+q=6x-2,故p=3,q=-2,

所以f(x)=3x2-2x.

點(n,Sn)(n∈N*)均在函數y=f(x)的圖象上,

則Sn=3n2-2n,當n=1時,a1=S1=1;

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n-5,

故數列{an}的通項公式:an=6n-5.

(2)由(1)得,cn=(an+2)=2n-1,

2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1,

當n=1時,b1=,

當n≥2時,2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn

=2n-1,

2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1=2(n-1)-1,

兩式相減得:bn==21-n,

故數列{bn}的通項公式:bn=