Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E為CD的中點，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在線段DE內．

(1)求證：CO⊥平面ABED；
(2)問∠CEO(記為θ)多大時，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為多少．

Answer 1

（1）見解析（2），

(1)在直角梯形ABCD中，
CD＝2AB，E為CD的中點，則AB＝DE，
又AB∥DE，AD⊥AB，可知BE⊥CD.
在四棱錐C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，
則BE⊥平面CDE.又BE?平面ABED，
所以平面ABED⊥平面CDE，
因為CO?平面CDE，
又CO⊥DE，且DE是平面ABED和平面CDE的相交直線，
故CO⊥平面ABED.
(2)由(1)知CO⊥平面ABED，
所以三棱錐C－AOE的體積V＝S_△AOE×OC＝××OE×AD×OC.
由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝，CE＝2.
得在三棱錐C－AOE中，
OE＝CEcos θ＝2cos θ，OC＝CEsin θ＝2sin θ，
V＝sin 2θ≤，
當且僅當sin 2θ＝1，θ∈，即θ＝時取等號(此時OE＝＜DE，O落在線段DE內)，
故當θ＝時，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為.