Question

（2013•臨沂一模）設f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）x=1時，f（x）有極值，證明：當θ∈[0，

π

2

]時，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則可得f′(x)=aex(x+

1

a

)(x+2)，通過分類討論

1

a

與2的大小關系，再根據導數與函數單調性的關系即可得出單調區間；
（II）由x=1時，f（x）有極值，得到f^′（1）=0，即可得到a的值，再求出其單調遞增區間，即可得出．

解答：解：（I）f^′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=aex(x+

1

a

)(x+2)．
（i）當a=

1

2

時，f′(x)=

1

2

ex(x+2)2≥0恒成立，∴函數f（x）在R上單調遞增．
（ii）當0＜a＜

1

2

時，則

1

a

＞2，即-

1

a

＜-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-2或x＜-

1

a

；當f^′（x）＜0時，解得-

1

a

＜x＜-2．
∴函數f（x）在區間(-∞，-

1

a

)和（-2，+∞）上單調遞增；在(-

1

a

，-2)上單調遞減．
（iii）當a＞

1

2

時，則

1

a

＜2，即-

1

a

＞-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-

1

a

或x＜-2；由f^′（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

a

．
∴函數f（x）在區間（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調遞增；在(-2，-

1

a

)上單調遞減．
（II）∵當x=1時，f（x）有極值，∴f^′（1）=0．∴3ae(1+

1

a

)=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f^′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f^′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上單調遞增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值、分類討論思想方法等基礎知識與方法，需要較強的推理能力和計算能力．