Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．

（i）若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

（ii）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）（i）；（ii）的斜率為定值.

【解析】

試題（I）設(shè)橢圓的方程為，由條件利用橢圓的性質(zhì)求得和的值，可得橢圓的方程．

（II）（i）設(shè)的方程為，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，由△＞0，求得的范圍，再利用利用韋達(dá)定理可得以及的值．再求得的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積，計(jì)算求得結(jié)果．

（ii）當(dāng)時(shí)，C、的斜率之和等于零，的方程為，把它代入橢圓的方程化簡(jiǎn)求得．再把直線的方程橢圓的方程化簡(jiǎn)求得的值，可得以及的值，從而求得的斜率的值．

試題解析：設(shè)橢圓的方程為，由題意可得它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，．

再根據(jù)離心率，求得，∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）（i）設(shè)，的方程為，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得，由，求得．

利用韋達(dá)定理可得，．

在中，令求得，∴四邊形的面積

，

故當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為4．

（ii）當(dāng)時(shí)，、的斜率之和等于零，設(shè)的斜率為，則的斜率為，

的方程為，把它代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得

，所以．

同理可得直線的方程為，

，

的斜率．