Question

已知函數.

（Ⅰ）當，函數有且僅有一個零點，且時，求的值；

（Ⅱ）若函數在區間上為單調函數，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）由可求出的值，然后將有且僅有一個零點，且，轉化函數的圖像與直線有且只有一個交點，最后根據圖像可得出的值；（2）針對進行分類：、、并結合雙勾函數的單調性可求得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ） ，得， 3分

，作出該函數的圖像

函數有且僅有一個零點，且

由圖像可知，函數的圖像與直線有且只有一個交點，且交點的橫坐標為 6分

8分

（Ⅱ）若，則函數在區間上單調遞增，滿足題意；

若，則，也滿足題意； 10分

若，則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則要滿足函數在區間上為單調函數，則或，

得或 14分

所以，綜上所述，得，的取值范圍是或 16分.

考點：1.函數的零點；2.函數的單調性；3.分類討論的思想.