Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，求最大的正整數，使得對（是自然對數的底數）內的任意個實數都有成立；

（3）求證：．

Answer 1

解：（1）設點為直線與曲線的切點，則有

．      （*）

，．   （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．   

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，．

因此，實數的取值范圍是．    

（2）當時，，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為． 

（3）證明：當時，根據（1）的推導有，時，，

即． 令，得，   

化簡得， 

．