Question

（本小題滿分13分）
已知數列滿足，數列滿足，數列
滿足．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ），，試比較與的大小，并證明；
（Ⅲ）我們知道數列如果是等差數列，則公差是一個常數，顯然在本題的數列中，不是一個常數，但是否會小于等于一個常數呢，若會，請求出的范圍，若不會，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意得：，所以是等差數列，首項，公差，
所以，從而；                        ……………………………3分
（2）由（1）得，構造函數 則
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，即，當且僅當時取等號， ………5分
所以，即，當且僅當時取等號，
所以
當且僅當時取等號；                       …………………………………8分
（3）由（1）知，不妨設恒成立，且，
則，等價于，      ………………10分
記，則在上單調遞減，
所以恒成立；
所以     ……………………………12分
記，，所以，
所以在上單調遞增，所以
所以為所求范圍．               ……………………14分

略