Question

【題目】若兩曲線y=x2﹣1與y=alnx﹣1存在公切線，則正實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0,2e）
【解析】解：兩曲線y=x2﹣1與y=alnx﹣1存在公切線，

y=x2﹣1的導數y′=2x，y=alnx﹣1的導數為y′= ，

設y=x2﹣1相切的切點為（n，n2﹣1）與曲線y=alnx﹣1相切的切點為（m，alnm﹣1），

y﹣（n2﹣1）=2n（x﹣n），即y=2nx﹣n2﹣1，

y﹣（alnm﹣1）= （x﹣m），即：y=

∴

∴ ∵a＞0，

∴

即 有解即可，

令g（x）=x2（1﹣lnx），

y′=2x（1﹣lnx）+ =x（1﹣2lnx）=0，可得x= ，

∴g（x）在（0， ）是增函數；（ ，++∞）是減函數，g（x）的最大值為：g（ ）= ，

又g（0）=0，

∴0 ，∴0＜a＜2e．

所以答案是：（0，2e）