Question

【題目】已知函數 （a＞0）． （Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若 恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：總存在x0 ， 使得當x∈（x0 ， +∞），恒有f（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）= ，x＞0，

∴f′（x）= ，

∴k=f′（1）=1，f（1）=0，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=x﹣1，

（Ⅱ）∵f（x）＜ 恒成立，

即 ＜ ，

∴a＞ ，x＞0，

設g（x）= ，

∴g′（x）= ，

當g′（x）＞0時，解得0＜x＜e2，函數g（x）單調遞增，

當g′（x）＜0時，解得x＞e2，函數g（x）單調遞減，

∴g（x）max=g（e2）= ，

∴a＞ ，

故a的取值范圍為（ ，+∞），

（Ⅲ）證明：∵f（x）= ，

∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，解得x=e，

當f′（x）＞0時，解得0＜x＜e，函數g（x）單調遞增，

當f′（x）＜0時，解得x＞e，函數g（x）單調遞減，

∴f（x）max=f（e）= ，

令 ≤1，即a≥ 時，

∴當a≥ 時，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞），恒有f（x）＜1

【解析】（Ⅰ）根據導數的幾何意義即可求出切線方程，（Ⅱ）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值即可，（Ⅲ）先求導，討論函數f（x）的單調性，根據函數的單調性和最值得關系，即可證明