Question

（（本小題滿分14分）
已知圓,點,點在圓運動,垂直平分線交于點．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設是曲線上的兩個不同點,且點在第一象限,點在第三象限,若
,為坐標原點,求直線的斜率；
（Ⅲ）過點且斜率為的動直線交曲線于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過這個點？若存在,求出的坐標,若不存在,說明理由．

Answer 1

解: （Ⅰ）因為的垂直平分線交 于點．所以

所以動點的軌跡是以點為焦點的橢圓……………3分
設橢圓的標準方程為
則，，則橢圓的標準方程為……5分
（Ⅱ）設，則    ①
因為，則    ②
由①②解得……………8分
所以直線的斜率……………10分
（Ⅲ）直線方程為，聯立直線和橢圓的方程得:
  得…………11分
由題意知：點在橢圓內部，所以直線與橢圓必交與兩點，
設則
假設在軸上存在定點，滿足題設，則
因為以為直徑的圓恒過點,
則，即: （*）
因為
則（*）變為…………12分



由假設得對于任意的,恒成立，
即解得．
因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標為．………………14分

略