Question

【題目】已知是偶函數，.

（1）求的值，并判斷函數在上的單調性，說明理由；

（2）設，若函數與的圖像有且僅有一個交點，求實數的取值范圍；

（3）定義在上的一個函數，如果存在一個常數，使得式子對一切大于1的自然數都成立，則稱函數為“上的函數”（其中，）.試判斷函數是否為“上的函數”，若是，則求出的最小值；若不是，則說明理由.（注：）.

Answer 1

【答案】（1），遞減；理由見解析；（2）；（3）是，.

【解析】

（1）由偶函數的定義可得f（﹣x）＝f（x），結合對數函數的運算性質，解方程可得所求值；函數h（x）＝f（x）x＝log4（4x+1）﹣x在R上遞減，運用單調性的定義和對數函數的單調性，即可證明；

（2）由題意可得log4（4x+1）x＝log4（a2xa）有且只有一個實根，可化為2x+2﹣x＝a2xa，即有a，化為a﹣1，運用換元法和對勾函數的單調性，即可得到所求范圍．

（3）利用求解即可

（1）f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函數，

可得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）﹣kx＝log4（4x+1）+kx，

即有log42kx，可得log44﹣x＝﹣x＝2kx，

由x∈R，可得k；

又函數h（x）＝f（x）x＝log4（4 x+1）﹣x=在R上遞減，

理由：設x1＜x2，則h（x1）﹣h（x2）＝log4（ ）﹣log4（）

＝log4（4﹣x1+1）﹣log4（4﹣x2+1），

由x1＜x2，可得﹣x1＞﹣x2，可得log4（4﹣x1+1）＞log4（4﹣x2+1），

則h（x1）＞h（x2），即y＝f（x）x在R上遞減；

（2）g（x）＝log4（a2xa），若函數f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點，

即為log4（4x+1）x＝log4（a2xa）有且只有一個實根，

可化為2x+2﹣x＝a2xa，

即有a，化為a﹣1，

可令t＝12x（t＞1），則2x，

則a﹣1，

由9t34在（1，）遞減，（，+∞）遞增，

可得9t34的最小值為234＝﹣4，

當a﹣1＝﹣4時，即a＝﹣3滿足兩圖象只有一個交點；

當t＝1時，9t34＝0，可得a﹣1＞0時，即a＞1時，兩圖象只有一個交點，

綜上可得a的范圍是（1，+∞）∪{﹣3}．

（3）是函數，理由如下：由題當任意的，有

因為單調遞增，則，故的最小值為