Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）證明線面平行，利用線面平行的判定定理，證明BC∥DM即可；
（2）利用線面垂直證明線線垂直，即證BC⊥平面PCD；
（3）利用等體積轉化求點A到平面PBC的距離．

解答：（1）證明：∵DC=1，AB=2，AB∥DC，M為AB的中點
∴四邊形BCDM為平行四邊形
∴BC∥DM
∵BC?平面PMD，DM?平面PMD
∴BC∥平面PMD；
（2）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得BC⊥DC．
因為PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．
因為PC?平面PCD，所以PC⊥BC．
（3）解：如圖，連接AC．設點A到平面PBC的距離h．
因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
從而由AB=2，BC=1，得△ABC的面積為1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×PD=

1

3

因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
所以PD⊥DC．又PD=DC=1，
所以PC=

2

．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積為

2

2

．
由V=

1

3

S_△PBC×h=

1

3

，得h=

2

．
因此點A到平面PBC的距離為

2

．

點評：本題考查線面平行，線面垂直，線線垂直，考查點到面的距離，解題的關鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定方法，利用等體積轉化求點面距離．