Question

頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過點，過點作拋物線的切線交x軸于點B₁，過點B₁作x軸的垂線交拋物線于點A₁，過點A₁作拋物線的切線交x軸于點B₂，…，過點作拋物線的切線交x軸于點．

（1）求數列{ x_n }，{ y_n}的通項公式；
（2）設，數列{ a_n}的前n項和為T_n．求證：；
（3）設，若對于任意正整數n，不等式…≥成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

，．（II）見解析 （III）

本試題主要是結合函數的圖像來分析數列的通項公式和數列的求和以及數列與不等式的關系的證明。
（1）頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過點，過點作拋物線的切線交x軸于點B₁，過點B₁作x軸的垂線交拋物線于點A₁，過點A₁作拋物線的切線交x軸于點B₂，…，過點作拋物線的切線交x軸于點，按照此規律得到通項公式
(2) 由（1）知．所以) ．利用裂項求和得到結論。
（3）由于，故．
對任意正整數n，不等式成立，
即恒成立．
因此構造函數，判定函數單調性得到參數的范圍。