Question

某位收藏愛好者鑒定一批物品中的每一件時，將正品錯誤地堅定為贗品的概率為

1

3

，將贗品錯誤地堅定為正品的概率為

1

2

．已知這批物品一共4件，其中正品3件，贗品1件
（1）求該收藏愛好者的鑒定結果為正品2件，贗品2件的概率；
（2）求該收藏愛好者的鑒定結果中正品數為X的分布列及期望．

Answer 1

（1）有兩種可能得到結果為正品2件，贗品2件
其一是錯誤地把一件正品鑒定成贗品，其他鑒定正確；
其二是錯誤地把兩件正品鑒定成贗品，把一件贗品鑒定成正品，其他鑒定正確．…（3分）
∴P(X=2)=

C

13

×(

1

3

)×(

2

3

)2×

1

2

+

C

23

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

=

1

3

…（6分）
（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P(X=0)=(

1

3

)3×

1

2

=

1

54

；
P(X=1)=

C

13

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

+(

1

3

)3×

1

2

=

7

54

；
P(X=2)=

1

3

；
P(X=3)=(

2

3

)3×

1

2

+

C

13

×(

2

3

)2×(

1

3

)×

1

2

=

10

27

；
P(X=4)=(

2

3

)3×

1

2

=

4

27

，
故X的分布列為

X=i	0	1	2	3	4
P（X=i）	1 54	7 54	1 3	10 27	4 27

EX=

7

54

+2×

1

3

+3×

10

27

+4×

4

27

=

5

2

…（12分）