Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)。
(Ⅰ)求常數(shù)的值；
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最小值；
（Ⅲ）若當(dāng)且時(shí)，恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)
（Ⅱ）
（Ⅲ）(－∞，1]

(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125202120556.gif" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，則
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，恒成立，即恒成立，所以。       （2分）
又在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，則
當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，恒成立，即恒成立，所以。
綜上分析，。                                                         （4分）
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125202541410.gif" style="vertical-align:middle;" />，則。
令，則，。
所以函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線與直線平行。        （6分）
設(shè)所求距離的最小值為d，則d為點(diǎn)到直線的距離，
故。                                               （8分）
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125202791541.gif" style="vertical-align:middle;" />，則。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在(0，1]上是減函數(shù)，從而。              （9分）
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，則。        （10分）
又當(dāng)時(shí)，恒成立，則在時(shí)恒成立。   （11分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125203025517.gif" style="vertical-align:middle;" />在時(shí)是減函數(shù)，所以，從而，即。
故b的取值范圍是(－∞，1]。                                                  (13分)