Question

如圖，已知長(zhǎng)方形中，,為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面.


（1）求證：；
（2）若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角的余弦值為．

Answer 1

(1)詳見解析；(2)中點(diǎn).

解析試題分析：(1)由已知圖形可得，取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,可證：三條直線兩兩垂直，平面平面,為等腰直角三角形，底面，,為中點(diǎn)，所以易證,建立空間直角坐標(biāo)系，證.
(2)由,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出面的法向量，以及面的法向量，利用,解出的值，從而判定點(diǎn)的位置.
試題解析：(1)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/43/b/11j3l4.png" style="vertical-align:middle;" />平面,是的中點(diǎn)，,取的中點(diǎn),連接則平面,取中點(diǎn),連接,則,以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得：                ..3分

則
所以，,故        7分
（2）設(shè),因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/6/jjo4i1.png" style="vertical-align:middle;" />的一個(gè)法向量
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
取,得,所以,10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/e/pbqcw1.png" style="vertical-align:middle;" />
求得，所以為的中點(diǎn)。12分
考點(diǎn)：1.空間向量求線線垂直；2.空間向量求二面角.