【題目】一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行． 
（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈ 
， 
≈5.7446）
（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由．
【答案】
（1）解：設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．
△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC= 
= 
，
∴∠BAC=17°，
∴緝私艇應向北偏東47°方向追擊，
△ABC中，由余弦定理可得cos120°= 
，∴BC≈1.68615．
B到邊界線l的距離為3.8﹣4sin30°=1.8，
∵1.68615＜1.8，
∴能最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功
（2）解：以A為原點，建立如圖所示的坐標系，則B（2，2 
），設緝私艇在P（x，y）出與走私船相遇，則PA=3PB，
即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2 ）2]，即（x﹣ 
）2+（y﹣ 
）2= ，
∴P的軌跡是以（ ， ）為圓心， 
為半徑的圓，
∵圓心到邊界線l：x=3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，
∴無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截．
【解析】（1）設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐標系，求出P的軌跡方程，即可解決．
新非凡教輔沖刺100分系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，其中m＜n，同時滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]． 則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，區(qū)間[m，n]稱為“保值區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x2﹣2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2）若函數(shù)f（x）=2+ 
﹣ 
（a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．
（3）對（2）中函數(shù)f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù) 
（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）當a＜ 
時，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，點
，直線
.
（1）求與圓
相切，且與直線
垂直的直線方程；
（2）在直線
上（
為坐標原點），存在定點
（不同于點
），滿足：對于圓上任一點
，都有
為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.
【答案】(1)
；(2)答案見解析.
【解析】試題分析：
（1）設所求直線方程為
，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得
，則所求直線方程為
（2）方法1：假設存在這樣的點
，由題意可得
，則
，然后證明為常數(shù)
為即可.
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數(shù)
，則
，據(jù)此得到關(guān)于
的方程組，求解方程組可得存在點
對于圓上任一點，都有為常數(shù).
試題解析：
（1）設所求直線方程為，即
，
∵直線與圓相切，∴
，得，
∴所求直線方程為
（2）方法1：假設存在這樣的點，
當為圓與
軸左交點
時，
；
當為圓與軸右交點
時，
，
依題意，，解得，
（舍去），或.
下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).
設
，則
，
∴
，
從而
為常數(shù).
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，
∴
，將代入得，
，即
對
恒成立，
∴
，解得
或
（舍去），
所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).
點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù)
的導函數(shù)為
，其中
為常數(shù).
（1）當
時，求的最大值，并推斷方程
是否有實數(shù)解；
（2）若在區(qū)間
上的最大值為-3，求的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，某機械廠要將長
，寬
的長方形鐵皮
進行裁剪．已知點
為
的中點，點
在邊
上，裁剪時先將四邊形
沿直線
翻折到
處（點
分別落在直線下方點
處，
交邊于點
），再沿直線
裁剪．
（1）當
時，試判斷四邊形
的形狀，并求其面積；
（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某校從理科甲班抽取60人，從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試．
（Ⅰ）根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學生的文理分類有關(guān)．
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計 | 60 |
（Ⅱ）現(xiàn)已知A，B，C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為 
，設隨機變量X表示A，B，C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．
附： 
，n=a+b+c+d
P（K2＞k0） | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，過點C作CO⊥AB，垂足為O，將△OBC沿CO折起，如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ（0＜θ＜π），E，F(xiàn)分別為BC，AO的中點 
（1）求證：EF∥平面ABD
（2）若θ= 
，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．
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