Question

【題目】已知函數f（x）＝ax﹣sinx（a∈R）.

（1）當時，f（x）0恒成立，求正實數a的取值范圍；

（2）當a≥1時，探索函數F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1在（0，π）上的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知分離參數后構造函數，轉化為求解函數的最值或范圍，結合導數可求；

（2）由已知結合導數分析函數的性質，然后結合函數的零點判定定理可求.

解：（1）因為，

所以，

令，，

再令m（x）xcosx﹣sinx，m'（x）cosx﹣xsinx﹣cosx﹣xsinx0，

所以m（x）在（0，）上單調遞減，

所以m（x）m（0）＝0.

所以g'（x）0，則g（x）在（0，）上單調遞減，

所以g（x）g（），

所以a，

又a0，

即正實數a的取值范圍是（0，].

（2）F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1ax﹣sinx﹣cosx+a﹣1，

則，

因為x∈（0，π），

故，

又a≥1，

故F′（x）0對x∈（0，π）恒成立，

即F（x）在區間（0，π）單調遞增；

又F（0）＝a﹣2，F（π）＝a（1+π）0，

故當1≤a2時，F（0）＝a﹣20，此時F（x）在區間（0，π）內恰好有1個零點；

當a≥2時，F（0）＝a﹣2≥0，此時F（x）在區間（0，π）內沒有零點.