Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數；當時，在上是增函數，在上是減函數．；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題（1）函數的定義域為，分和兩種情況分類討論，即可求解函數的單調性；（2）由（1）知時，不成立，故，又由（1）知的最大值為，只需即可，即可求解；（3）由（2）知，當時，有在恒成立，且在上是減函數，進而，則，即，即可證明結論.

試題解析：（1） 函數的定義域為，

當時，在上是增函數，

當時，若時，有，

若時，有，則在上是增函數，在上是減函數.

（2）由（1）知時，在上是增函數，而不成立，故，又由（1）知的最大值為，要使恒成立，則即可，

即，得.

（3）由（2）知，當時，有在恒成立，且在上是減函數，

，即，在上恒成立，令，則，

即，從而

得證.