Question

已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于，設(shè) .
（1）證明： 成等比數(shù)列；
(2)若的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；
（3）在(2)的橢圓中，過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

試題分析：（1）由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y₀），其中|y₀|=d，知，d=b•＝，由此能證明d，b，a成等比數(shù)列．
（2）由條件知c＝，d＝1，知b²＝a?1，a²＝b²+2，由此能求出橢圓方程．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0再由韋達(dá)定理能夠推導(dǎo)出直線的方程．
試題解析：(1)證明：由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，
， ，即成等比數(shù)列．   3分
(2)由條件知，橢圓方程為 6分
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0所以①由得
整理后把①式代入解得k=，
所以直線l的方程為.