Question

如圖多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）證明：由三視圖可知：△ABE與△DCF皆為直角三角形，且AB⊥BE，DC⊥CF，
側面矩形ABCD⊥底面直角梯形BEFC，且BC=

3

，EF=2，∠CEF=90°．
由以上可得：AB∥CD，BE∥CF．
又AB?平面DCF，DC?平面DCF，∴AB∥平面DCF；
同理可證BE∥平面DCF．
又AB∩BE=B，∴平面ABE∥平面DCF．
∴AE∥平面DCF．
（Ⅱ）如圖所示：
當AB=DC=6時，二面角A-EF-C的大小為60°．下面給出證明：
過點E作EM⊥CF，垂足為M，則EM∥BC，又BE∥CM，
∴四邊形BCME為矩形，∴EM=

3

．
在Rt△EFM中，sin∠EFM=

EM

EF

=

3

2

，∴∠EFM=60°．
∴∠FEM=30°．
∵∠FEC=90°，∴∠CEM=60°，FE⊥CE．
在Rt△CEM中，CE=

ME

cos60°

=2

3

．
∵DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，
∴DC⊥平面BCFE，∴DC⊥EF．
又∵DC∩CE=C，∴FE⊥平面DCE，∴FE⊥DE，
∴∠DCE是二面角A-EF-C的平面角，其大小為60°．
在Rt△DCE中，DC=CEtan60°=6=AB．
故當AB的長6時，二面角A-EF-C的大小為60°．