Question

【題目】已知函數f(x)= －，g(x)= ．

（1）若，函數的圖像與函數的圖像相切，求的值；

（2）若， ，函數滿足對任意（x1x2），都有恒成立，求的取值范圍；

（3）若，函數=f(x)+ g(x),且G()有兩個極值點x1,x2,其中x1，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）設切點為),則切線方程為，所以解方程組即可得結果；（2）不妨設，原不等式等價于.設，則原不等式轉化為在上遞減，只需在上恒成立即可；（3）= ,,由題意知是的兩根，利用韋達定理 ，利用導數求出=2的最小值即可.

試題解析：(1)若b=0，函數f(x)=x的圖像與g(x)=2alnx的圖像相切，設切點為(x0,2alnx0),則切線方程為y=，所以得.所以a=.

(2)當a>0,b=-1時，F(x)=x2+1+2alnx，F＇(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]遞增.

不妨設0<x1<x21，原不等式F(x2)-F(x1)<3()，即F(x2)+ < F(x1)+ .

設h(x)= F(x)+ = x2+1+2alnx+，則原不等式h(x)在(0,1]上遞減

即h＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a-2x2在(0,1]上恒成立.

設y=-2x2,在(0,1]上遞減，所以ymin=3-2=1，所以2a1，又a>0，所以0<a.

(3)若b=1,函數G(x)=f(x)+g(x)=x+2alnx

G/(x)= ,(x>0),由題意知x1,x2是x2+2ax+1=0的兩根，

∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,

G(x1)-G(x2)=G(x1)-G()=

令H(x)=2[], H＇(x)=2()lnx=

當時，H/(x)<0, H(x)在上單調遞減，H(x)的最小值為

即G(x1)-G(x2) 的最小值為