Question

（2007•上海）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積

16

3

后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為

16

3

，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為

16

3

，求所有側面面積之和的最小值”．
試給出問題“在平面直角坐標系xoy中，求點P（2，1）到直線3x+4y=0的距離．”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題．

Answer 1

分析：利用逆向”問題的意義可以是：（1）求到直線3x+4y=0的距離為2的點的軌跡方程．或者 （2）若點P（2，1）到直線l：ax+by=0的距離為2，求直線l的方程．利用點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：點（2，1）到直線3x+4y=0的距離為

|3•2+4•1|

32+42

=2．      
“逆向”問題可以是：（1）求到直線3x+4y=0的距離為2的點的軌跡方程．      
設所求軌跡上任意一點為P（x，y），則

|3x+4y|

5

=2，
所求軌跡為3x+4y-10=0或3x+4y+10=0．       
（2）若點P（2，1）到直線l：ax+by=0的距離為2，求直線l的方程．
由

|2a+b|

a2+b2

=2，化簡得4ab-3b²=0，b=0或4a=3b，
所以，直線l的方程為x=0或3x+4y=0．

點評：正確理解逆向”問題的意義和點到直線的距離公式是解題的關鍵．