Question

【題目】已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．

（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上單調遞減，求實數a的取值范圍．

（2）設函數h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在區間[0，1]上的最小值g （t）．

Answer 1

【答案】（1）a∈（1，]；（2）

【解析】

（1）由知，函數的對稱軸為 ，函數在 上單調，只需即可求解 （2）化簡函數，根據二次函數的對稱軸，分 三種情況討論，即可求出最小值.

（1）設f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由于過點（0，4），

∴c=4．

由f（3﹣x）=f（x）得，a（3﹣x）2+b（3﹣x）+4=ax2+bx+4，即3a+b=0①

又f（1）=a+b+4=2

∴a=1，b=﹣3，

故f（x）=x2﹣3x+4，

則函數的單調遞減區間為：（﹣∞，]

若f（x）在（a，2a﹣1）上單調遞減，

則a＜2a﹣1≤

解得：a∈（1，]；

（2）函數h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4的圖象是開口朝上，且以直線x=t為對稱軸的拋物線，

當t≤0時，h（x）在區間[0，1]上為增函數，當x=0時，h（x）取最小值，即g （t）=h（0）=4．

當0＜t＜1時，h（x）在區間[0，t]上為減函數，區間[t，1]上為增函數，當x=t時，h（x）取最小值，即g （t）=h（t）=4﹣t2．

當t≥1時，h（x）在區間[0，1]上為減函數，當x=1時，h（x）取最小值，即g （t）=h（1）=5﹣2t．