Question

（2011•重慶一模）給出以下4個命題：
①曲線x²-（y-1）²=1按

a

=（1，-2）平移可得曲線（x+1）²-（y-3）²=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，則使x-y取得最小值的最優解有無數多個；
③設A、B為兩個定點，n為常數，|

PA

|-|

PB

|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
④若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點，延長F₁P到點M，使|F₂P|=|PM|，則點M的軌跡是圓．
其中所有真命題的序號為

②④

．

Answer 1

分析：①原曲線即為線x²-（y-1）²=1，按向量平移即是把函數向右平移1個單位，向下平移2個單位后得到曲線．
②數形結合進行判定即可；
③不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；
④充分利用平面幾何圖形的條件特點，結合橢圓的定義，得到|F₁Q|為定長，從而確定動點Q的軌跡是個什么圖形．

解答：解：①原曲線即為x²-（y-1）²=1，則平移后的曲線C為（x-1）²-（y+1）²=1，故①不正確．
②先畫出約束條件|x-1|+|y-1|≤1的圖形，當z=x-y與區域的一邊重合時取得最小值，則最小值的最優解有無數多個，故②正確；

③若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．
當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線，③不正確；
④∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PQ|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a，
即|F₁Q|=2a，
∴動點Q到定點F₁的距離等于定長2a，故動點Q的軌跡是圓．故④正確；
故答案為：②④

點評：本題主要考查了曲線的平移，以及求軌跡方程的方法及定義法和線性規劃等問題，同時考查了作圖能力，是一道綜合題．