Question

（2012•吉安縣模擬）已知在△ABC中，角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知向量

m

=（sinA+sinC，sinB-sinA），

n

=（sinA-sinC，sinB），且

m

⊥

n

，
（1）求角C的大小；
（2）若a2=b2+

1

2

c2，試求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，及兩向量垂直，得到其數量積為0，根據平面向量的數量積運算法則化簡，整理后再利用正弦定理化簡，利用余弦定理表示出cosC，將得出的關系式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）利用正弦定理化簡已知的等式，將C的度數代入，并利用二倍角的余弦函數公式化簡后，再由三角形的內角和定理及C的度數，用A表示出B，代入化簡后的式子中，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡求出sin（2A+

π

3

）的值，然后將表示出的B代入所求的式子中，整理后利用誘導公式化簡，將求出的sin（2A+

π

3

）的值代入即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA+sinC，sinB-sinA），

n

=（sinA-sinC，sinB），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（sinA+sinC）（sinA-sinC）+sinB（sinB-sinA）=0，
即sin²A-sin²C+sin²B-sinAsinB=0，
整理得：sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB，
由正弦定理得：c²=a²+b²-ab，即a²+b²-c²=ab，
再由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）∵a²=b²+

1

2

c²，
∴sin²A=sin²B+

1

2

sin²C，即sin²A-sin²B=

3

8

，
∴

1-cos2A

2

-

1-cos2B

2

=

3

8

，即cos2B-cos2A=

3

4

，
∵A+B+C=π，即A+B=

2π

3

，
∴cos（

4π

3

-2A）-cos2A=

3

4

，即-cos（

π

3

-2A）-cos2A=

3

4

，
整理得：

1

2

cos2A+

3

2

sin2A+cos2A=-

3

4

，即

3

2

cos2A+

1

2

sin2A=-

3

4

，
∴sin（2A+

π

3

）=-

3

4

，
則sin（A-B）=sin[A-（

2π

3

-A）]=sin（2A-

2π

3

）=-sin（2A-

2π

3

+π）=-sin（2A+

π

3

）=

3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算法則，二倍角的余弦函數公式，誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．