Question

如圖，四棱柱中，平面．

（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為的充分條件，并給予證明；
①，②；③是平行四邊形．
（Ⅱ）設四棱柱的所有棱長都為1，且為銳角，求平面與平面所成銳二面角的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）由平面和可以得到平面，從而可以得到，結合作已知條件，可以證明平面，進而可以得到；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，將題中涉及的關鍵點用參數表示出來，并將問題中涉及的二面角的余弦值利用參數表示出來，結合函數的方法確定二面角的余弦值的取值范圍，進而確定二面角的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）條件②，可做為的充分條件.     1分
證明如下：
平面，，平面，   2分
∵平面，.
若條件②成立，即，∵，平面，    3分
又平面，．  ..4分
（Ⅱ）由已知，得是菱形，.
設，為的中點，則平面，
∴、、交于同一點且兩兩垂直.   5分
以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示．6分

設，，其中，
則，，，，，
，，   7分
設是平面的一個法向量，
由得令，則，，
，     9分
又是平面的一個法向量，   10分
，  11分
令，則，為銳角，
，則，，
因為函數在上單調遞減，，
所以，  12分
又， ，
即平面與平面所成角的取值范圍為．  13分