Question

已知函數f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝ －1，f′(1)＝0，

⑴求f(x)；

⑵求f(x)的最大值；

⑶若x＞0,y＞0,證明：lnx＋lny≤.

本題主要考查函數、導數的基本知識、函數性質的處理以及不等式的綜合問題，同時考查考生用函數放縮的方法證明不等式的能力．

Answer 1

（1）f(x)＝lnx－x

       （2）最大值為－1

       （3）證明見解析。

解析:

⑴由b＝ f(1)＝ －1, f′(1)＝a＋b＝0, ∴a＝1,∴f(x)＝lnx－x為所求； ……………4分

⑵∵x＞0,f′(x)＝－1＝,

x	0＜x＜1	x＝1	x＞1
f′(x)	＋	0	－
f(x)	↗	極大值	↘

∴f(x)在x＝1處取得極大值－1，即所求最大值為－1； ……………8分

⑶由⑵得lnx≤x－1恒成立，

∴lnx＋lny＝＋≤＋＝成立………12分