Question

已知函數f(x)=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

（1）求y=f（x）在x∈[0，

π

2

]上的單調區間和值域；
（2）把y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后得到的圖象，其大于零的零點從小到大組成數列{x_n}，求數列{x_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡y=f（x），利用正弦函數單調增區間和單調減區間，解出函數的單調區間；
（2）通過左加右減的原則求出y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后得到的圖象對應的解析式，其大于零的零點從小到大組成數列{x_n}，然后求解數列{x_n}的前n項和S_n

解答：解：（1）f(x)=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)，
當x∈[0，

π

2

]時，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
故值域為[-

3

2

，1]，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 k ∈Z，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

 ， k ∈Z，
k=0時，解得-

5π

12

≤x≤

π

12

，又x∈[0，

π

2

]
所以當x∈[0，

π

12

]上函數f(x)=sin(2x+

π

3

)單調遞增，
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

  ，k ∈Z，解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

， k ∈Z，
k=0時，解得

π

12

≤x≤

7π

12

，，又x∈[0，

π

2

]
所以當x∈[

π

12

，

π

2

]上函數f(x)=sin(2x+

π

3

)遞減
綜上，在區間[0，

π

12

]上函數f(x)=sin(2x+

π

3

)單調遞增，在區間[

π

12

，

π

2

]上函數f(x)=sin(2x+

π

3

)遞減．       
（2）f(x)=sin(2x+

π

3

)右平移

π

6

個單位后得到g（x）=sin2x，
令g(x)=sin2x=0⇒xn=

nπ

2

(n∈N+)，數列{x_n}是以

π

2

為首項，以

π

2

為公差的等差數列
故其前n項和為Sn=

π

2

•n+

n(n-1)

2

•

π

2

=

π

4

n(n+1)，

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角公式與兩角和的正弦函數的應用，考查函數與數列相結合的問題，考查計算能力．