Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數都成立，那么稱為g（x）為函數f（x）的一個承托函數，給出如下命題：
①定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
②g（x）=2x為函數f（x）=e^x的一個承托函數；
③g（x）=

1

2

x為函數f（x）=x²的一個承托函數；
④對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個
其中正確的命題的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）①f（x）=3x+3的定義域和值域都是R，存在一個承托函數y=3x+1；②即證明F（x）=e^x-2x的圖象恒在x軸上方，構造函數F（x）=e^x-2x，證明其恒大于0即可；③列舉反例加以說明；④舉例可以說明，如f（x）=cosx或f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，反例如y=tanx或y=lgx就沒有承托函數．

解答：解：①f（x）=3x+3的定義域和值域都是R，存在一個承托函數y=3x+1，故命題①不正確；
②令F（x）=e^x-2x，F′（x）=e^x-2=0，得x=ln2，
當x＜ln2時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當x＞ln2時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，
∴當x=ln2時，F（x）取最小值=2-2ln2＞0，
∴命題②正確；
③x=1時，g（1）=

1

2

，f（1）=1，顯然g（1）＜f（1），當x=

1

4

時，g（

1

4

）=

1

8

，f（

1

4

）=

1

16

，顯然g（

1

4

）＞f（

1

4

），命題③不正確．
④如f（x）=cosx或f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數，∴命題④正確；
故正確的為：②④
故選C．

點評：本題是新定義題，考查對題意的理解和轉化的能力，要說明一個命題是正確的，必須給出證明，如②，對于存在性命題的探討，只需舉例說明即可，如④，對于不正確的命題，舉反例即可，如①③，屬于中檔題．