Question

定義：S為R的真子集，?x，y∈S，若x+y∈S，x-y∈S，則稱S對加減法封閉．有以下四個命題，請判斷真假：
①自然數集對加減法封閉；
②有理數集對加減法封閉；
③若有理數集對加減法封閉，則無理數集也對加減法封閉；
④若S₁，S₂為R的兩個真子集，且對加減法封閉，則必存在c∈R，使得c∉S₁∪S₂；
四個命題中為“真”的是

②④

．（填寫序號）

Answer 1

分析：根據集合S對加減法封閉的定義，舉出反例可以說明①③不正確．再結合有理數的定義與性質，可證出②正確，最后通過舉例說明命題④是正確的，從而得出正確答案．

解答：解：對于①，因為存在x=1，y=2∈N，使x-y=-1∉N，故自然數集對減法不封閉，所以①不正確；
對于②，因為?x，y∈Q，有x+y∈Q且x-y∈Q成立，故則有理數對加減法封閉，故②正確；
對于③，由前面的討論知有理數集對加減法封閉，而存在x=

2

，y=-

2

∈{無理數}，使x+y=0∉{無理數}，
故無理數集對加減法不封閉，所以③不正確；
對于④，可設S₁=Z，S₂=Q，它們是R的兩個真子集，且對加減法封閉，存在c=

2

∈R，且

2

∉S₁∪S₂，故④正確．
故答案為：②④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查我們對運算封閉性的理解，著重對自然數、有理數、無理數的運算性質進行了考查，屬于基礎題．