Question

已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F為橢圓的右焦點，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）滿足題意的直線存在，方程為：.

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標準方程,可采用待定系數法求方程, 設橢圓方程為，利用條件求的值,從而得方程,因為｜｜＝1,即,再由·＝1,寫出,的坐標,從而求出的值,可得方程;（Ⅱ）此題屬于探索性命題,解此類問題，一般都假設成立，作為條件，能求出值，則成立，若求不出值，或得到矛盾的結論，則不存在，此題假設存在直線符合題意，設出直線方程，根據直線與二次曲線位置關系的解題方法，采用設而不求的解題思維，設的坐標，根據根與系數關系，來求出直線方程，值得注意的是，當方程不恒有交點時，需用判別式討論參數的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）設橢圓方程為，，所以，又因為，所以，則橢圓方程為；
（Ⅱ）假設存在直線符合題意。由題意可設直線方程為：，代入得：，，設，則，，   解得：或 ， 當時，三點共線，所以，所以，所以滿足題意的直線存在，方程為：.