Question

【題目】已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}．若A∪B=A，A∩C=C，求實數a，m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由A中方程變形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，

解得：x=1或x=2，即A={1，2}，

∵B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，

∴BA，CA，

若BA，顯見B中至少有一個元素1，即B≠，

當B為單元素集合時，只需a=2，此時B={1}滿足題意；

當B為雙元素集合時，只需a=3，此時B={1，2}也滿足題意，

∴a=2或a=3，

則a的取值集合為{2，3}；

若CA，

當C是空集時，△=m2﹣8＜0，即﹣2 ＜m＜2 ；

當C為單元素集合時，△=0，m=±2 ，

此時C={ }或C={﹣ }，不滿足題意；

當C為雙元素集合時，C只能為{1，2}，此時m=3，

綜上，m的取值集合為{m|m=3或﹣2 ＜m＜2 }

【解析】解出集合A，分析滿足A∪B=A，A∩C=C時即為BA，CA，分類討論B與C，求出a，m的范圍即可.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用集合的并集運算和集合的交集運算的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握并集的性質：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，則AB，反之也成立；交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．