Question

（本小題共13分）
用表示不大于的最大整數．令集合，對任意和，定義，集合，并將集合中的元素按照從小到大的順序排列，記為數列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求證：在數列中，不大于的項共有項．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知知
．
所以．      ………………4分
（Ⅱ）因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排成而成，
所以我們可設計如下表格

	1	2	3	4	5	‥‥
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

從上表可知，每一行從左到右數字逐漸增大，每一列從上到下數字逐漸增大．
且‥‥
所以 ．  ………………8分
（Ⅲ）任取，，
若，則必有．
即在（Ⅱ）表格中不會有兩項的值相等．
對于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的數不大于，
則，即，所以，
同理，第二行共有的數不大于，有，
第行共有的數不大于，有．
∴在數列中，不大于的項共有項，即項．…13分

略