Question

已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若關(guān)于x的方程

[x]

x

-a=0（a為常數(shù)）有且僅有3個(gè)不等的實(shí)根，則a的取值范圍是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ]
• B、(

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]∪[

  4

  3

  ，

  3

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  )
• D、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]∪[

  5

  4

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程

[x]

x

-a=0等價(jià)于[x]=ax．分x＞0和x＜0的情況討論，確定為使函數(shù)f（x）=

[x]

x

-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3，即可得出結(jié)論．

解答：解：關(guān)于x的方程

[x]

x

-a=0等價(jià)于[x]=ax．分x＞0和x＜0的情況討論，顯然有a≥0．
若x＞0，此時(shí)[x]≥0；若[x]=0，則

[x]

x

=0；若[x]≥1，因?yàn)閇x]≤x＜[x]+1，故

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，即

[x]

[x]+1

＜a≤1，且

[x]

[x]+1

隨著[x]的增大而增大．
若x＜0，此時(shí)[x]＜0；若-1≤x＜0，則

[x]

x

≥1；若x＜-1，因?yàn)閇x]≤x＜-1，[x]≤x＜[x]+1，故1≤

[x]

x

＜

[x]

[x]+1

，即1≤a＜

[x]

[x]+1

，且

[x]

[x]+1

＜隨著[x]的減小而增大．
為使函數(shù)f（x）=

[x]

x

-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．
若[x]=1，有

1

2

＜a≤1；若[x]=2，有

2

3

＜a≤1；若[x]=3，有

3

4

＜a≤1；若[x]=4，有

4

5

＜a≤1；若[x]=-1，有a＞1； 若[x]=-2，有1≤a＜2；若[x]=-3，有1≤a＜

3

2

，若[x]=-4，有1≤a＜

4

3

綜上所述，

3

4

＜a≤

4

5

或

4

3

≤a＜

3

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．