Question

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數。

① 對任意的，總有；

② 當時，總有成立。

已知函數與是定義在上的函數。

（1）試問函數是否為函數？并說明理由；

（2）若函數是函數，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，討論方程解的個數情況。

Answer 1

（1）是（2）1（3）當時，有一解；當時，方程無解

解析:

（1） 當時，總有，滿足①，　　　　  1分

當時，

，滿足②   4分

（2）若時，不滿足①，所以不是函數；　　　5分

若時，在上是增函數，則，滿足①　   6分

由 ，得，

即，　　　　　　　　　　　　     　　７分

因為

所以     與不同時

等于1  

　　　　　　　9分

當時，  　　，　　　11分

 綜合上述：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

（3）根據（２）知：　a=1，方程為，  　　　　　

由　得　　　　　　　　　          　１4分

令，則                    １6分

由圖形可知：當時，有一解；

當時，方程無解。　　        　 18分