Question

如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm³.

解析試題分析：設箱子的底邊長為x cm，則箱子高h＝cm.
箱子容積V＝V(x)＝x²h＝ (0<x<60)．
求V(x)的導數，得V′(x)＝60x－x²＝0，
解得x₁＝0(不合題意，舍去)，x₂＝40.
當x在(0,60)內變化時，導數V′(x)的正負如下表：

x	(0,40)	40	(40,60)
V′(x)	＋	0	－

因此在x＝40處，函數V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數V(x)的最大值．
將x＝40代入V(x)
得最大容積V＝40²×＝16 000(cm³)．
所以箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm³.
考點：本題主要考查函數模型，應用導數研究函數的單調性、最值。
點評：典型題，本題屬于函數及導數應用中的基本問題，通過研究構建函數函數模型，利用導數求函數的最值。關于函數應用問題的考查，在高考題中往往是“一大兩小”。構建函數模型的步驟“審清題意、設出變量、確定函數、求解答案、寫出結語”。本題利用均值定理，確定函數的最值。