Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知向量

m

=（a+c，b-a），

n

=（a-c，b），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=

6

2

，求角A的值．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

得（a+c）（a-c）+（b-a）b=0化簡整理得a²+b²-c²=ab代入余弦定理即可求得cosC，進而求得C．
（2）根據C，求得B=

2π

3

-A代入sinA+sinB=

6

2

中，根據兩角和與差公式化簡整理得sin(A+

π

6

)=

2

2

，進而求得A．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得

m

•

n

═（a+c，b-a）•（a-c，b）=0；
整理得a²+b²-c²-ab=0．即a²+b²-c²=ab，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

．
又因為0＜C＜π，所以C=

π

3

．
（2）因為C=

π

3

，
所以A+B=

2π

3

，
故B=

2π

3

-A．
由sinA+sinB=

6

2

，得sinA+sin(

2π

3

-A)=

6

2

．
即sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

6

2

，
所以

3

sinA+cosA=

2

．
即sin(A+

π

6

)=

2

2

．
因為0＜A＜

2

3

π，
所以

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
故A+

π

6

=

π

4

或A+

π

6

=

3π

4

．
所以A=

π

12

或A=

7π

12

．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用和同角三角函數關系．考查了學生綜合分析問題的能力．