Question

（09年山東猜題卷）對于三次函數。

定義：（1）設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；

定義：（2）設為常數，若定義在上的函數對于定義域內的一切實數，都有成立，則函數的圖象關于點對稱。

己知，請回答下列問題：

（1）求函數的“拐點”的坐標

（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）

（3）寫出一個三次函數，使得它的“拐點”是（不要過程）

Answer 1

解析：（1）依題意，得： ，

。……………………2分

    由 ，即。∴，又 ，

    ∴的“拐點”坐標是。……………………4分

    （2）由(1)知“拐點”坐標是。

    而=

    ==，

由定義(2)知：關于點對稱。……………………8分

一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心。………………………………………………………………………10分

（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數………）都可以給分

（3）或寫出一個具體的函數,如或。…………12分