Question

【題目】如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形BCC1B1為等腰梯形，BC=4，B1C1=C1C=2，AB=5，AC⊥BC．

（1）求證：BC1⊥平面ACC1；
（2）求直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，在BCC1B1內過點C1作C1M⊥BC于點M，

因為四邊形CC1B1為等腰梯形，BC=4，B1C1=C1C=2，所以MC=1，MB=3，

在Rt△C1MC中，知MC1= ，所以BC1=2 ，

可得BC1⊥CC1，

又因AC⊥BC，平面BCC1B1⊥平面ABCD，

平面BCC1B1∩平面ABCD=BC，所以AC⊥平面BCC1B1，

因為BC1平面BCC1B1，所以AC⊥BC1，

又因AC∩CC1=C，

所以BC1⊥平面ACC1

（2）解：延長BB1，CC1，AA1，DD1知相交于一點，記該點為P，取BC中點O，

在四棱臺中，PO⊥BC，

又因平面BCC1B1⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

取AB中點N，知ON∥AC，且ON⊥BC，所以以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則A（3，﹣2，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），P（0，0，2 ）， ，

所以 =（0，﹣3， ） =（3，﹣2，﹣2 ）， = =（0，﹣4，0）．

設平面ADD1A1的法向量為 =（x，y，z），則 ，可取 =（2，0， ）

所以cos＜ ， ＞= ，故直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）在BCC1B1內過點C1作C1M⊥BC于點M，證明BC1⊥CC1 ， AC⊥BC1 ， 即可證明BC1⊥平面ACC1；（2）求出平面ADD1A1的法向量，即可求直線BC1與平面ADD1A1所成的角的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．