Question

如圖在三棱錐S-ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）證明SC⊥BC．
（2）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）因為SA⊥面ABC，AC為SC在面ABC內的射影，由三垂線定理可直接得證．
（2）由題意可直接找出側面SBC與底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．

解答：解：（1）∵∠SAB=∠SCA=90°
∴SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥面ABC
由于∠ACB=90° 即BC⊥AC
由三重線定理SC⊥BC
（2）∵BC⊥AC BC⊥SC
∴∠SCA是側面SBC與底面ABC所成二面角的平面角
在Rt△SCB中，由于BC=

13

，SB=

29

SC=4
在Rt△SAC中，由于AC=2 SC=4
∴COS∠SCA=

AC

SC

=

1

2

∴∠SCA=60°
即側面SBC與底面ABC形成的二面角的大小為60°．

點評：本題考查兩條直線垂直的證明、三垂線定理的應用、二面角的求解，考查邏輯推理能力和運算能力．