Question

【題目】已知

（1）當時，求的最大值；

（2）若存在使，得關于的方程有三個不相同的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）表示此時函數的解析式，求導分析單調性，即可求得最值.

（2）由于為分段函數，故分類討論兩段函數交點個數，將問題可轉化為的根存在三個，記，，令，令，分兩段求導分析函數圖象特征，進而判定交點個數，求得參數取值范圍.

（1）當時，，即

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，

所以

（2），經驗證不是方程的根，

所以原方程的根等價于的根，

記，，令，，單調遞減，

令，即，

令為極大值點，其在上單調遞增，在上單調遞減，

當，，

所以在無實數根

當時，……①

有兩個極值點，且，即，

故所以，

存在使①有三個實根所以滿足條件.

當，的分子中，，顯然，所以①僅有一個正根，

要使有兩個負根，則﹐

綜上所﹐即.