Question

已知各項均為正數的兩個數列和滿足：，，
（1）設，，求證：數列是等差數列；
（2）設，，且是等比數列，求和的值．

Answer 1

（1）見解析
（2）

（1）根據題設和，求出，從而證明而得證。
（2）根據基本不等式得到，用反證法證明等比數列的公比。
從而得到的結論，再由知是公比是的等比數列。最后用反證法求出
解：（1）∵，∴。
∴ 。
∴   。
∴數列是以1 為公差的等差數列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
設等比數列的公比為，由知，下面用反證法證明
若則，∴當時，，與（﹡）矛盾。
若則，∴當時，，與（﹡）矛盾。
∴綜上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比數列。
若，則，于是。
又由即，得。
∴中至少有兩項相同，與矛盾。∴。
∴。
∴
【考點定位】本題綜合考查等差數列的定義、等比數列的有關知識的靈活運用，指數冪和根式的互化，數列通項公式的求解，注意利用等差數列的定義證明問題時一般思路和基本方法，本題是有關數列的綜合題，從近幾年的高考命題趨勢看，數列問題仍是高考的熱點、重點問題，在訓練時，要引起足夠的重視。