Question

【題目】已知是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，線段的垂直平分線交于點(diǎn).

(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，（ 點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問(wèn)考查軌跡方程的求法，根據(jù)題畫(huà)出圖形輔助分析，觀察圖形可知，恒有，根據(jù)定義到定點(diǎn)與定直線距離相等的點(diǎn)軌跡為拋物線，因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，可以求出相應(yīng)的方程為；（Ⅱ）本問(wèn)重點(diǎn)考查直線與拋物線問(wèn)題，分析題意可知，過(guò)點(diǎn)的直線斜率顯然存在且不為0，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，需要考慮到的條件有判別式，韋達(dá)定理，然后根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，通過(guò)坐標(biāo)表示，于是可以求出的值，這樣就得到了直線的方程，接下來(lái)需要確定的外接圓圓心和半徑，線段， 垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心，在根據(jù)弦長(zhǎng)公式確定半徑即可，于是得到外接圓方程.

試題解析：(Ⅰ)連接，由于是線段垂直平分線上的點(diǎn)，則，即到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等、所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線.

其中

所以點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程為.

(Ⅱ)設(shè)， ， ， 的方程為.

將代入并整理得

，由，

從而， ，

， .

因?yàn)?/span>，

故，解得，

所以的方程為，

設(shè)中點(diǎn)為,

則， ，

中垂線方程.

令得，圓心坐標(biāo)，到的距離為.

，

所以圓的半徑

的外接圓的方程.