Question

.設函數y=f(x)的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數x, y，均有

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且當x>1時，f(x)>0。

   （1）求f(1), f()的值；

   （2）試判斷y=f(x)在（0，+∞）上的單調性，并加以證明；

   （3）一個各項均為正數的數列{a??_n}滿足f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1，n∈N*，其中S_n是數列{a_n}的前n項和，求數列{a_n}的通項公式；

   （4）在（3）的條件下，是否存在正數M，使2ⁿ·a₁·a₂…a_n≥M·.(2a₁－1)·(2a₂－1)…(2a_n－1)對于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）f(1)=0f()=－1  （2） 函數y=f(x)在（0，+∞）上是增函數 

（3）數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，從而有a_n=n  

（4）存在   正數M的范圍是

解析:

1）∵f(2×1)=f(2)+f(1), ∴f(1)=0

   又∵f(1)=f(2×)=f(2)+f(),且f(2)=1，∴f()=－1

（2）設…4分

∴函數y=f(x)在（0，+∞）上是增函數

（3）∵f(2)=1, ∴由f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1(n∈N*)，得f(2S_n)=f[a_n(a_n+1)]

∵函數y=f(x)在（0，+∞）上是增函數，

∴2S_n=a_n(a_n+1)

∴數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，從而有a_n=n

（4）∵a_n=n，故不等式

可化為2ⁿ×1×2×3×…×n≥M×1×3×5×…×（2n－1），

即

則是單調遞增

對一切n∈N*都成立的正數M的范圍是