Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右頂點A 的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B（-1，-3）．
（1）求橢圓C和直線l的方程；
（2）若圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與直線l_AB相切，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率，及B的坐標與幾何量之間的關系，建立方程組，即可求得橢圓C和直線l的方程；
（2）化圓的一般方程為標準方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，即可求得實數m的值．

解答：解：（1）由題意，

c a = 6 3 9 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，∴

a2=12 b2=4

，∴橢圓C的方程為

y2

12

+

x2

4

=1；
∵右頂點A（2，0），B（-1，-3）
∴直線l的方程為x-y-2=0；
（2）圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0的標準方程為：（x-m）²+（y+2）²=8
∵圓D：x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與直線l_AB相切
∴

|m|

2

=2

2

∴m=±4

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的方程，考查直線與圓相切，解題的關鍵是正確運用橢圓的幾何性質，屬于中檔題．