Question

（本小題滿分13分）
已知函數，其中為常數，且。
（I）                   當時，求在（ ）上的值域；
（II）                 若對任意恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）當時，                                                                      
得                                                                            ………………2分
令，即，解得，所以函數在上為增函數，
據此，函數在上為增函數，                                           ………………4分
而，，所以函數在上的值域為
………………6分
（Ⅱ）由令，得即
當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；   ……………7分
若，即，易得函數在上為增函數，
此時，，要使對恒成立，只需即可，
所以有，即
而，即，所以此時無解.
………………8分
若，即，易知函數在上為減函數，在上為增函數，
要使對恒成立，只需，即，
由和
得.                                                                   ………………10分
若，即，易得函數在上為減函數，
此時，，要使對恒成立，只需即可，
所以有，即，又因為，所以.       ……………12分
  綜合上述，實數a的取值范圍是.                                              ……………13分