Question

【題目】設函數f（x）在R上存在導函數f′（x），對于任意的實數x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+ ＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則實數m的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.[﹣ ，+∞）
C.[﹣1，+∞）
D.[﹣2，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），

∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，

設g（x）=f（x）﹣2x2，則g（x）+g（﹣x）=0，

∴函數g（x）為奇函數．

∵x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+ ＜4x，

g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣ ，

故函數g（x）在（﹣∞，0）上是減函數，

故函數g（x）在（0，+∞）上也是減函數，

若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，

則f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，

即g（m+1）＜g（﹣m），

∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣ ，

所以答案是：A．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．