Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n,且有a₁=2,S_n=2a_n-2.
(1)求數列a_n的通項公式;
(2)若b_n=na_n,求數列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2ⁿ        (2) T_n=2+(n-1)·2ⁿ⁺¹

解:(1)∵S_n=2a_n-2,
∴S_n-1=2a_n-1-2(n≥2),
∴a_n=2a_n-1,
=2(n≥2).
又∵a₁=2,
∴{a_n}是以2為首項,2為公比的等比數列,
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)b_n=n·2ⁿ,
T_n=1·2¹+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ,
2T_n=1·2²+2·2³+…+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹.
兩式相減得,-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹,
∴-T_n=-n·2ⁿ⁺¹=(1-n)·2ⁿ⁺¹-2,
∴T_n=2+(n-1)·2ⁿ⁺¹.