Question

已知C：x²+y²+2x-4y+3=0．圓C外有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P到圓C的切線長(zhǎng)等于它到原點(diǎn)O的距離，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）當(dāng)點(diǎn)P到圓C的切線長(zhǎng)最小時(shí)，切點(diǎn)為M，求∠MPC的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用圓的方程可求得圓心和半徑，根據(jù)題意可知PM|²=|PC|²-r²，求得x和y的關(guān)系式，則點(diǎn)P的軌跡方程可得．
（2）根據(jù)題意可知P到圓C的切線最小時(shí)，即P到原點(diǎn)的距離最小，此時(shí)OP所在的直線垂直于2x-4y+3=0，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得|PC|，進(jìn)而在Rt△MPC中求得sin∠MPC，利用反三角函數(shù)求得∠MPC．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）
由圓的方程可知圓心為（-1，2），
r²=2，且|PM|²=|PC|²-r²，
（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，
整理得2x-4y+3=0
（2）到P到圓C的切線最小時(shí)，即P到原點(diǎn)的距離最小，此時(shí)OP所在的直線垂直于
2x-4y+3=0，故點(diǎn)P（-

3

10

，

3

，5

），
此時(shí)|PC|=

7 5

10

，sin∠MPC=

2

7 5 10

=

2 10

7

∴∠MPC=arcsin

2 10

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．考查了學(xué)生基本推理能力，數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，基本的計(jì)算能力．